填空题 · 20 题 • 专升本备考手册

填空没有选项可排除——靠「结论直写」和快准。每题 ≤2 分钟。答案全折叠。

1. $\lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{x\sin x}$ = ____

答案：1/2

分子 ~x²/2，分母 ~x²

2. $y=xe^x$ ，则 $y''$ = ____

答案：e^x(x+2)

y'=e^x(x+1)，再求导

3. 曲线 $y=x^3-3x+1$ 的极大值为 ____

答案：3

f'=3x²−3=0 → x=±1；极大 f(−1)=−1+3+1=3

4. $\int_0^{\pi}\sin^2x\,dx$ = ____

答案：π/2

降幂：∫(1−cos2x)/2 = π/2

5. $\int\dfrac{dx}{x\ln x}$ = ____

答案：ln|ln x|+C

dx/x = d(ln x)，凑微分（考点：复合 ln）

6. 曲线过点 (0,1) 且任一点切线斜率为 $e^x$ ，则曲线方程为 ____

答案：y=e^x

y'=e^x → y=e^x+C；y(0)=1 → C=0（积分几何意义）

7. $y''+2y'+y=0$ 满足 $y(0)=1,\ y'(0)=0$ 的特解为 ____

答案：y=(1+x)e^{−x}

重根 r=−1；C₁=1，y'(0)=C₂−C₁=0 → C₂=1

8. 幂级数 $\sum nx^n$ 的收敛半径 R = ____

答案：1

R=lim|a_n/a_{n+1}| = lim n/(n+1) = 1

9. $z=x^2+y^2$ 在 (1,2) 处的全微分 $dz$ = ____

答案：2dx+4dy

z_x=2x=2, z_y=2y=4

10. 交换次序： $\int_0^1dy\int_y^1f\,dx$ = ____

答案：∫₀¹dx∫₀^x f dy

画图：区域 0≤y≤x≤1

11. $f'(x)=2x$ 且 $f(1)=3$ ，则 $f(x)$ = ____

答案：x²+2

f=x²+C；f(1)=1+C=3 → C=2

12. $\lim_{x \to 0}x^2e^{1/x}$ ____（填：存在值/不存在）

答案：不存在

左极限 0，右极限 +∞（e^{1/x} 信号词，必分侧）

13. $\int_{-\pi}^{\pi}x^3\cos x\,dx$ = ____

答案：0

x³ 奇 × cos 偶 = 奇函数，对称区间 → 0（禁术 12）

14. 曲线 $y=x(x-1)(x-2)$ 的拐点个数为 ____

答案：1 个

y''=6x−6 在 x=1 为零且变号（三次曲线恒有一个拐点）

15. $y''-5y'+6y=0$ 的通解为 ____

答案：y=C₁e^{2x}+C₂e^{3x}

(r−2)(r−3)=0

16. $y=x^3-3x$ 的单调减区间为 ____

答案：(−1, 1)

f'=3(x²−1)<0

17. 设 $\sum a_n$ 收敛，则 $\sum(a_n+2026)$ ____（敛/散）

答案：发散

通项 →2026 ≠ 0（必要条件秒杀，禁术 18）

18. $\int_0^1(2x+1)\,dx$ = ____

答案：2

[x²+x]₀¹ = 2

19. $z=\ln(x^2+y^2)$ ，则 $z_x$ = ____

答案：2x/(x²+y²)

链式：外层 1/u × 内层 2x

20. 曲线 $y=e^x$ 的水平渐近线为 ____

答案：y=0（x→−∞ 方向）

x→+∞ 时 →+∞ 无水平；x→−∞ → 0

1. lim⁡x→01−cos⁡xxsin⁡x\lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{x\sin x} = ____

2. y=xexy=xe^x，则 y′′y'' = ____

3. 曲线 y=x3−3x+1y=x^3-3x+1 的极大值为 ____

4. ∫0πsin⁡2x dx\int_0^{\pi}\sin^2x\,dx = ____

5. ∫dxxln⁡x\int\dfrac{dx}{x\ln x} = ____

6. 曲线过点 (0,1) 且任一点切线斜率为 exe^x，则曲线方程为 ____

7. y′′+2y′+y=0y''+2y'+y=0 满足 y(0)=1, y′(0)=0y(0)=1,\ y'(0)=0 的特解为 ____

8. 幂级数 ∑nxn\sum nx^n 的收敛半径 R = ____

9. z=x2+y2z=x^2+y^2 在 (1,2) 处的全微分 dzdz = ____

10. 交换次序：∫01dy∫y1f dx\int_0^1dy\int_y^1f\,dx = ____

11. f′(x)=2xf'(x)=2x 且 f(1)=3f(1)=3，则 f(x)f(x) = ____

12. lim⁡x→0x2e1/x\lim_{x \to 0}x^2e^{1/x} ____（填：存在值/不存在）

13. ∫−ππx3cos⁡x dx\int_{-\pi}^{\pi}x^3\cos x\,dx = ____

14. 曲线 y=x(x−1)(x−2)y=x(x-1)(x-2) 的拐点个数为 ____

15. y′′−5y′+6y=0y''-5y'+6y=0 的通解为 ____

16. y=x3−3xy=x^3-3x 的单调减区间为 ____

17. 设 ∑an\sum a_n 收敛，则 ∑(an+2026)\sum(a_n+2026) ____（敛/散）

18. ∫01(2x+1) dx\int_0^1(2x+1)\,dx = ____

19. z=ln⁡(x2+y2)z=\ln(x^2+y^2)，则 zxz_x = ____

20. 曲线 y=exy=e^x 的水平渐近线为 ____