提取公因式化加减为乘除（深坑 A1/避坑 1）：

所以原式 $=\lim\dfrac{x^3/2}{x^3}=\dfrac12$。

无定义点 x=±1。约分 $f=\dfrac{1}{x+1}$（x≠1）。

• x=1：$\lim=\dfrac12$ 存在 → 可去间断点（第一类）
• x=−1：$\lim=\infty$ → 无穷间断点（第二类）

两边对 x 求导（y 的项带 y′）：

代 (1,1)：$y'=-\dfrac{3}{3}=-1$。

（中间结果化简要彻底，最后答案最简）

① 定义域 R；② $f'=3x^2-6x=3x(x-2)$，驻点 x=0,2； ③ 列表：x<0 增，0<x<2 减，x>2 增； ④ 极大 $f(0)=2$，极小 $f(2)=-2$。增区间 $(-\infty,0)\cup(2,+\infty)$，减区间 (0,2)。

$R(p)=p(100-2p)=100p-2p^2$，定义域 0<p<50。 $R'=100-4p=0$ → p=25；$R''=-4<0$ 为最大。 最大收入 $R(25)=25\times50=1250$。 答：定价 25 时收入最大，为 1250。

拆项：$\dfrac{1}{(x-2)(x+2)}=\dfrac14\left(\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x+2}\right)$

（公式直写：$\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$，a=2）

反三角当 u：$\dfrac{x^2}{2}\arctan x-\dfrac12\int\dfrac{x^2}{1+x^2}dx$

所以原式 $=\dfrac{x^2}{2}\arctan x-\dfrac x2+\dfrac12\arctan x+C$。

令 $t=\sqrt{e^x-1}$ → $x=\ln(1+t^2),\ dx=\dfrac{2t}{1+t^2}dt$；换限：x=0→t=0，x=ln2→t=1。

（换元换限一步不落——深坑 C2 的反面示范）

交点：$x=\dfrac{y^2}{2}=y+4 \Rightarrow y^2-2y-8=0 \Rightarrow y=4,\ -2$，交点 (2,−2)、(8,4)。

沿 y 积分（右减左）：

（沿 y 积分比拆 x 简单一倍——画图定积分变量）

化为标准形 $y'-\dfrac1x y=x^2$，$P=-\dfrac1x$，$e^{\int P dx}=\dfrac1x$。

方程两边乘 1/x：$\left(\dfrac yx\right)'=x$ → $\dfrac yx=\dfrac{x^2}{2}+C$

通解 $y=\dfrac{x^3}{2}+Cx$。

① 齐次：$(r-2)^2=0$ → $Y=(C_1+C_2x)e^{2x}$ ② 右端 λ=2 是二重特征根 → k=2，设 $y^*=ax^2e^{2x}$（不是 Ae^{2x}！） ③ 代入定系数得 $a=\dfrac12$（深坑 D3：漏乘 x² 代入会矛盾） ④ 通解：