选择题 · 1~20 • 专升本备考手册

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1. $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}$ = ?

A. 1　B. 2/3　C. 3/2　D. 0

答案：B

等价替换：2x/3x = 2/3（禁术 6）

2. $\lim_{x \to \infty}\left(1+\dfrac1x\right)^{2x}$ = ?

A. e　B. e²　C. 2e　D. 1

答案：B

1^∞ 套壳：e^{lim 2x·(1/x)} = e²（禁术 5）

3. 函数 $y=x^3$ 在 x=0 处？

A. 是极大值点　B. 是极小值点　C. 是驻点但非极值点　D. 不可导

答案：C

f'=3x²，f'(0)=0 驻点；f' 两侧不变号 → 非极值（易错：驻点≠极值点）

4. 曲线 $y=\dfrac{x+1}{x^2-1}$ 的垂直渐近线？

A. x=±1　B. 仅 x=1　C. 仅 x=−1　D. 无

答案：B

约分 y=1/(x−1)：x=−1 可去（深坑 B2），仅 x=1 一条垂直；x→∞ 时 y→0 水平 y=0

5. 「f 在 x₀ 连续」是「f 在 x₀ 可导」的？

A. 充分条件　B. 必要条件　C. 充要条件　D. 无关

答案：B

可导⇒连续；连续⇏可导 → 连续是可导的必要不充分条件

6. $y=|x|$ 在 x=0 处？

A. 可导　B. 连续且可导　C. 连续但不可导　D. 不连续

答案：C

经典反例：左右导数 −1 ≠ 1

7. 可导函数 f 在 x₀ 取极值是 f’(x₀)=0 的？

A. 充分条件　B. 必要条件　C. 充要　D. 无关

答案：B

极值点（可导处）必是驻点；驻点未必极值（x³）→ 必要不充分

8. $\lim_{x \to 0}e^{1/x}$ 的结果？

A. 0　B. +∞　C. 1　D. 不存在

答案：D

左 0 右 +∞ → 不存在（禁术：见 e^{1/x} 必分侧）

9. $\dfrac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt$ = ?

A. cos x²　B. −2x sin x²　C. 2x cos x²　D. sin x²

答案：C

上限求导 × 上限导数 = cos(x²)·2x

10. $\int_{-1}^{1}(x^2+x^3)\,dx$ = ?

A. 0　B. 1　C. 2/3　D. 4/3

答案：C

x³ 奇函数消掉；2∫₀¹x²dx = 2/3（禁术 12）

11. 曲线 $y=x^3-3x$ 的极大值点？

A. x=1　B. x=−1　C. x=0　D. x=3

答案：B

f'=3(x²−1)：x=−1 处 f' 由正变负 → 极大

12. $\int_0^1\dfrac{dx}{1+x^2}$ = ?

A. π　B. π/2　C. π/4　D. ln2

答案：C

[arctan x]₀¹ = π/4

13. $\int xe^{x^2}dx$ = ?

A. e^{x²}+C　B. ½e^{x²}+C　C. 2e^{x²}+C　D. xe^{x²}+C

答案：B

x dx = ½d(x²)；回代验算（禁术 14）

14. $y=\dfrac{x}{x^2-1}$ 的垂直渐近线？

A. x=1 与 x=−1　B. 仅 x=1　C. 无　D. y=0

答案：A

分母零点 ±1，分子均不为零 → 两条；y=0 是水平（别混）

15. $y''+4y=0$ 的通解？

A. C₁e^{2x}+C₂e^{−2x}　B. C₁cos2x+C₂sin2x　C. (C₁+C₂x)e^{2x}　D. C₁cos x+C₂sin x

答案：B

r=±2i → 共轭复根形态（禁术 16：先算 Δ=−16<0）

16. 级数 $\sum(-1)^n\dfrac1{n^3}$ ？

A. 发散　B. 条件收敛　C. 绝对收敛　D. 敛散无法确定

答案：C

Σ1/n³（p=3>1）收敛 → 绝对收敛

17. 级数 $\sum\dfrac1{n^2}$ ？

A. 发散　B. 条件收敛　C. 绝对收敛　D. 通项不趋零

答案：C

p 级数 p=2>1 → 收敛

18. 设 $z=x^2y$ ，则 $z_x$ = ?

A. x²　B. 2xy　C. xy²　D. 2x

答案：B

对 x 求导，y 当常数（禁术 20）

19. $\iint_D (x+y)\,d\sigma$ ，D=[0,1]×[0,1]，值 = ?

A. 1/2　B. 1　C. 3/2　D. 2

答案：B

∫₀¹x dx + ∫₀¹y dy = ½+½ = 1

20. 曲线 $y=x^2$ 在点 (1,1) 处的切线方程？

A. y=2x−1　B. y=2x　C. y=x　D. y=−2x+3

答案：A

y'(1)=2 → y−1=2(x−1)（题型 2，法线斜率是 −1/2）

1. lim⁡x→0sin⁡2xsin⁡3x\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x} = ?

2. lim⁡x→∞(1+1x)2x\lim_{x \to \infty}\left(1+\dfrac1x\right)^{2x} = ?

3. 函数 y=x3y=x^3 在 x=0 处？

4. 曲线 y=x+1x2−1y=\dfrac{x+1}{x^2-1} 的垂直渐近线？

5. 「f 在 x₀ 连续」是「f 在 x₀ 可导」的？

6. y=∣x∣y=|x| 在 x=0 处？

7. 可导函数 f 在 x₀ 取极值是 f’(x₀)=0 的？

8. lim⁡x→0e1/x\lim_{x \to 0}e^{1/x} 的结果？

9. ddx∫0x2cos⁡t dt\dfrac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt = ?

10. ∫−11(x2+x3) dx\int_{-1}^{1}(x^2+x^3)\,dx = ?

11. 曲线 y=x3−3xy=x^3-3x 的极大值点？

12. ∫01dx1+x2\int_0^1\dfrac{dx}{1+x^2} = ?

13. ∫xex2dx\int xe^{x^2}dx = ?

14. y=xx2−1y=\dfrac{x}{x^2-1} 的垂直渐近线？

15. y′′+4y=0y''+4y=0 的通解？

16. 级数 ∑(−1)n1n3\sum(-1)^n\dfrac1{n^3}？

17. 级数 ∑1n2\sum\dfrac1{n^2}？

18. 设 z=x2yz=x^2y，则 zxz_x = ?

19. ∬D(x+y) dσ\iint_D (x+y)\,d\sigma，D=[0,1]×[0,1]，值 = ?

20. 曲线 y=x2y=x^2 在点 (1,1) 处的切线方程？

1. $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}$ = ?

2. $\lim_{x \to \infty}\left(1+\dfrac1x\right)^{2x}$ = ?

3. 函数 $y=x^3$ 在 x=0 处？

4. 曲线 $y=\dfrac{x+1}{x^2-1}$ 的垂直渐近线？

6. $y=|x|$ 在 x=0 处？

8. $\lim_{x \to 0}e^{1/x}$ 的结果？

9. $\dfrac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt$ = ?

10. $\int_{-1}^{1}(x^2+x^3)\,dx$ = ?

11. 曲线 $y=x^3-3x$ 的极大值点？

12. $\int_0^1\dfrac{dx}{1+x^2}$ = ?

13. $\int xe^{x^2}dx$ = ?

14. $y=\dfrac{x}{x^2-1}$ 的垂直渐近线？

15. $y''+4y=0$ 的通解？

16. 级数 $\sum(-1)^n\dfrac1{n^3}$ ？

17. 级数 $\sum\dfrac1{n^2}$ ？

18. 设 $z=x^2y$ ，则 $z_x$ = ?

19. $\iint_D (x+y)\,d\sigma$ ，D=[0,1]×[0,1]，值 = ?

20. 曲线 $y=x^2$ 在点 (1,1) 处的切线方程？