考场不止一种题面。这一页练三种「不常规」题型：找错题（给你错误解法，指出错哪一步）、变式链（同一考点连续变形）、应用创新题。做不了常规题的人做不了它们；做得懂它们的人，常规题闭眼做。

一、找错题（8 例）

错 1：$\lim_{x \to 0}\dfrac{\tan x-\sin x}{x^3}$，解：把 tanx、sinx 换成 x，得 0。

错 2：$\int_0^2|x-1|\,dx$，解：$\int_0^2(x-1)dx=\left[\frac{(x-1)^2}{2}\right]_0^2=0$。

错 3：$x=t^2,\ y=t^3$，解：$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{y''}{x''}=\dfrac{6t}{2}=3t$。

错 4：$y=\dfrac{x^2-1}{x^2-3x+2}$，解：分母零点 x=1,2 → 垂直渐近线 2 条，加水平 1 条共 3 条。

错 5：$\int_0^4\dfrac{dx}{1+\sqrt x}$，令 $t=\sqrt x$，解：$\int_0^4\dfrac{2t\,dt}{1+t}$。

错 6：$y=x^4$，解：$y''=12x^2$，$y''(0)=0$ → 拐点 (0,0)。

错 7：$y''-4y'+4y=e^{2x}$，解：设 $y^*=Ae^{2x}$，代入定 A。

错 8：极坐标二重积分 $\iint_D f\,d\theta\,dr$，直接换元没多乘东西。

二、一题多变（3 组变式链）

链 1：极限的成长线

1. $\lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}$ → 1/2
2. 变式：$\dfrac{1-\cos 2x}{x^2}$ → 2（角度变了系数变）
3. 再变：$\dfrac{1-\cos x}{x\sin x}$ → 1/2（分母换成 x·sinx ~ x²，结果不变）

规律：抓「最高/最低次幂的阶数比」，别被外皮吓到。

链 2：从面积到旋转体

1. $y=x^2$ 与 $y=x$ 围成面积 = 1/6
2. 变式：该图形绕 x 轴旋转 → $V=\pi\int_0^1(x^2-x^4)dx=\dfrac{2\pi}{15}$
3. 再变：改为 $y=2x-x^2$ 与 x 轴围成绕 x 旋转 → $\dfrac{16\pi}{15}$（配方展开别跳步）

链 3：微分方程三级跳

1. $y''-3y'+2y=0$ → $y=C_1e^x+C_2e^{2x}$
2. 变式（加初始条件）：$y(0)=1,\ y'(0)=2$ → $y=e^{2x}$
3. 再变（加非齐次项 eˣ）：λ=1 是单特征根 → $y=C_1e^x+C_2e^{2x}-xe^x$（特解乘 x！）

三、应用创新题（3 例）

应 1：细菌增长

细菌数量 y 满足 $\dfrac{dy}{dt}=ky$（k>0），3 小时翻一倍。问几小时变为原来的 8 倍？

应 2：椭圆内接矩形

椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ 的内接矩形（边平行坐标轴）最大面积？

应 3：证明题

证明方程 $xe^x=1$ 在 (0,1) 内有唯一实根。

使用建议

• 找错题：先指出错哪一步，再给出正解——两步都完成才算会
• 变式链：遮住后面的，自己改题自己解——「会出题」是「会做题」的完全体
• 应用题：读两遍题，先写「设谁、求谁、定义域」再动笔