🎯 自测题库 on 专升本备考手册

选择题 · 1~20

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

限时：每题 90 秒。先选，再看解析。全卷考点覆盖 ch1~ch9。

1. $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}$ = ?

A. 1　B. 2/3　C. 3/2　D. 0

答案：B

等价替换：2x/3x = 2/3（禁术 6）

2. $\lim_{x \to \infty}\left(1+\dfrac1x\right)^{2x}$ = ?

A. e　B. e²　C. 2e　D. 1

选择题 · 21~40

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

同上半卷：90 秒一题，先选后看。

21. $\lim_{x \to 0}\dfrac{e^{3x}-1}{x}$ = ?

A. 1　B. 3　C. 1/3　D. 0

答案：B

e^{3x}−1 ~ 3x（禁术 6）

22. 曲线 $y=x^2$ 上过点 (0,−4) 的切线？

A. 恰一条　B. 恰两条　C. 三条　D. 不存在

填空题 · 20 题

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

填空没有选项可排除——靠「结论直写」和快准。每题 ≤2 分钟。答案全折叠。

1. $\lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{x\sin x}$ = ____

答案：1/2

分子 ~x²/2，分母 ~x²

2. $y=xe^x$ ，则 $y''$ = ____

答案：e^x(x+2)

y'=e^x(x+1)，再求导

3. 曲线 $y=x^3-3x+1$ 的极大值为 ____

答案：3

f'=3x²−3=0 → x=±1；极大 f(−1)=−1+3+1=3

4. $\int_0^{\pi}\sin^2x\,dx$ = ____

答案：π/2

降幂：∫(1−cos2x)/2 = π/2

5. $\int\dfrac{dx}{x\ln x}$ = ____

答案：ln|ln x|+C

dx/x = d(ln x)，凑微分（考点：复合 ln）

6. 曲线过点 (0,1) 且任一点切线斜率为 $e^x$ ，则曲线方程为 ____

答案：y=e^x

y'=e^x → y=e^x+C；y(0)=1 → C=0（积分几何意义）

7. $y''+2y'+y=0$ 满足 $y(0)=1,\ y'(0)=0$ 的特解为 ____

答案：y=(1+x)e^{−x}

重根 r=−1；C₁=1，y'(0)=C₂−C₁=0 → C₂=1

8. 幂级数 $\sum nx^n$ 的收敛半径 R = ____

答案：1

R=lim|a_n/a_{n+1}| = lim n/(n+1) = 1

9. $z=x^2+y^2$ 在 (1,2) 处的全微分 $dz$ = ____

答案：2dx+4dy

z_x=2x=2, z_y=2y=4

10. 交换次序： $\int_0^1dy\int_y^1f\,dx$ = ____

答案：∫₀¹dx∫₀^x f dy

画图：区域 0≤y≤x≤1

11. $f'(x)=2x$ 且 $f(1)=3$ ，则 $f(x)$ = ____

答案：x²+2

f=x²+C；f(1)=1+C=3 → C=2

12. $\lim_{x \to 0}x^2e^{1/x}$ ____（填：存在值/不存在）

答案：不存在

左极限 0，右极限 +∞（e^{1/x} 信号词，必分侧）

13. $\int_{-\pi}^{\pi}x^3\cos x\,dx$ = ____

答案：0

x³ 奇 × cos 偶 = 奇函数，对称区间 → 0（禁术 12）

14. 曲线 $y=x(x-1)(x-2)$ 的拐点个数为 ____

答案：1 个

y''=6x−6 在 x=1 为零且变号（三次曲线恒有一个拐点）

15. $y''-5y'+6y=0$ 的通解为 ____

答案：y=C₁e^{2x}+C₂e^{3x}

(r−2)(r−3)=0

16. $y=x^3-3x$ 的单调减区间为 ____

答案：(−1, 1)

f'=3(x²−1)<0

17. 设 $\sum a_n$ 收敛，则 $\sum(a_n+2026)$ ____（敛/散）

答案：发散

通项 →2026 ≠ 0（必要条件秒杀，禁术 18）

18. $\int_0^1(2x+1)\,dx$ = ____

答案：2

[x²+x]₀¹ = 2

19. $z=\ln(x^2+y^2)$ ，则 $z_x$ = ____

答案：2x/(x²+y²)

链式：外层 1/u × 内层 2x

20. 曲线 $y=e^x$ 的水平渐近线为 ____

答案：y=0（x→−∞ 方向）

x→+∞ 时 →+∞ 无水平；x→−∞ → 0

计算大题 · 12 题

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

大题按步骤给分——解析里的每一步都是答题卷上该写的。每题限时 10~12 分钟。

大题 1（极限）

计算 $\lim_{x \to 0}\dfrac{\tan x-\sin x}{x^3}$

完整解答

提取公因式化加减为乘除（深坑 A1/避坑 1）：

\tan x-\sin x=\tan x(1-\cos x)\sim x\cdot\frac{x^2}{2}=\frac{x^3}{2}

所以原式 $=\lim\dfrac{x^3/2}{x^3}=\dfrac12$ 。

创新题型 · 找错 / 变式 / 应用

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

考场不止一种题面。这一页练三种「不常规」题型：找错题（给你错误解法，指出错哪一步）、变式链（同一考点连续变形）、应用创新题。做不了常规题的人做不了它们；做得懂它们的人，常规题闭眼做。

全真模拟卷（一）

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

满分 150 分，限时 150 分钟。建议打印式作答（草稿本+手写），全程不翻资料。做完再打开卷末答案自评。题目标注分值，按步骤给分。

一、选择题（5 × 4 = 20 分）

M1. $\lim_{x \to 0}\dfrac{e^{2x}-1}{\sin 3x}$ = ? A. 2/3　B. 3/2　C. 1　D. 0

英语语法选择 · 1~20

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

限时每题 45 秒（考场英语语法题均速）。先选再看解析。考点对应词汇与语法模块。

1. By the time he arrived, the meeting ____ for half an hour.

A. has begun　B. had been on　C. had begun　D. began

答案：B

begin 是瞬间动词，持续一段时间用 **be on**；by the time + 过去 → 过去完成：had been on

2. Look out! A car ____ toward you.

A. comes　B. is coming　C. has come　D. came

英语语法选择 · 21~40

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

21. I wish I ____ how to swim.

A. know　B. knew　C. have known　D. will know

答案：B

wish 对现在愿望 → 过去式 knew

22. Without electricity, life ____ quite different.

A. is　B. would be　C. will be　D. was

答案：B

without = 含蓄虚拟条件 → would be（18 课）

23. It’s high time we ____ up.

A. get　B. got　C. will get　D. getting

英语综合训练卷

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

四种题型各一组：完形（10 空）→ 十五选十（5 空）→ 阅读（3 题）→ 翻译（6 句）。限时 40 分钟，按考场顺序做。

一、完形填空（10 空）

Last summer, I decided to learn swimming. At first, I was (1)____ of water and dared not go into the pool. My coach was very (2)____ and encouraged me every day. He told me that the most important thing was to (3)____ calm in the water. I practiced blowing bubbles and holding my (4)____ for a few seconds. Little by little, I made (5). One day, I suddenly found that I could (6) for several meters without help. How (7)____ I was! From then on, I went to the pool (8)____ and practiced harder. Now swimming has become my favorite (9). This experience taught me a (10) lesson: nothing is impossible if you keep trying.

🎯 自测题库 on 专升本备考手册

选择题 · 1~20

1. lim⁡x→0sin⁡2xsin⁡3x\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x} = ?

2. lim⁡x→∞(1+1x)2x\lim_{x \to \infty}\left(1+\dfrac1x\right)^{2x} = ?

选择题 · 21~40

21. lim⁡x→0e3x−1x\lim_{x \to 0}\dfrac{e^{3x}-1}{x} = ?

22. 曲线 y=x2y=x^2 上过点 (0,−4) 的切线？

填空题 · 20 题

1. lim⁡x→01−cos⁡xxsin⁡x\lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{x\sin x} = ____

2. y=xexy=xe^x，则 y′′y'' = ____

3. 曲线 y=x3−3x+1y=x^3-3x+1 的极大值为 ____

4. ∫0πsin⁡2x dx\int_0^{\pi}\sin^2x\,dx = ____

5. ∫dxxln⁡x\int\dfrac{dx}{x\ln x} = ____

6. 曲线过点 (0,1) 且任一点切线斜率为 exe^x，则曲线方程为 ____

7. y′′+2y′+y=0y''+2y'+y=0 满足 y(0)=1, y′(0)=0y(0)=1,\ y'(0)=0 的特解为 ____

8. 幂级数 ∑nxn\sum nx^n 的收敛半径 R = ____

9. z=x2+y2z=x^2+y^2 在 (1,2) 处的全微分 dzdz = ____

10. 交换次序：∫01dy∫y1f dx\int_0^1dy\int_y^1f\,dx = ____

11. f′(x)=2xf'(x)=2x 且 f(1)=3f(1)=3，则 f(x)f(x) = ____

12. lim⁡x→0x2e1/x\lim_{x \to 0}x^2e^{1/x} ____（填：存在值/不存在）

13. ∫−ππx3cos⁡x dx\int_{-\pi}^{\pi}x^3\cos x\,dx = ____

14. 曲线 y=x(x−1)(x−2)y=x(x-1)(x-2) 的拐点个数为 ____

15. y′′−5y′+6y=0y''-5y'+6y=0 的通解为 ____

16. y=x3−3xy=x^3-3x 的单调减区间为 ____

17. 设 ∑an\sum a_n 收敛，则 ∑(an+2026)\sum(a_n+2026) ____（敛/散）

18. ∫01(2x+1) dx\int_0^1(2x+1)\,dx = ____

19. z=ln⁡(x2+y2)z=\ln(x^2+y^2)，则 zxz_x = ____

20. 曲线 y=exy=e^x 的水平渐近线为 ____

计算大题 · 12 题

大题 1（极限）

创新题型 · 找错 / 变式 / 应用

全真模拟卷（一）

一、选择题（5 × 4 = 20 分）

英语语法选择 · 1~20

1. By the time he arrived, the meeting ____ for half an hour.

2. Look out! A car ____ toward you.

英语语法选择 · 21~40

21. I wish I ____ how to swim.

22. Without electricity, life ____ quite different.

23. It’s high time we ____ up.

英语综合训练卷

一、完形填空（10 空）

1. $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}$ = ?

2. $\lim_{x \to \infty}\left(1+\dfrac1x\right)^{2x}$ = ?

21. $\lim_{x \to 0}\dfrac{e^{3x}-1}{x}$ = ?

22. 曲线 $y=x^2$ 上过点 (0,−4) 的切线？

1. $\lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{x\sin x}$ = ____

2. $y=xe^x$ ，则 $y''$ = ____

3. 曲线 $y=x^3-3x+1$ 的极大值为 ____

4. $\int_0^{\pi}\sin^2x\,dx$ = ____

5. $\int\dfrac{dx}{x\ln x}$ = ____

6. 曲线过点 (0,1) 且任一点切线斜率为 $e^x$ ，则曲线方程为 ____

7. $y''+2y'+y=0$ 满足 $y(0)=1,\ y'(0)=0$ 的特解为 ____

8. 幂级数 $\sum nx^n$ 的收敛半径 R = ____

9. $z=x^2+y^2$ 在 (1,2) 处的全微分 $dz$ = ____

10. 交换次序： $\int_0^1dy\int_y^1f\,dx$ = ____

11. $f'(x)=2x$ 且 $f(1)=3$ ，则 $f(x)$ = ____

12. $\lim_{x \to 0}x^2e^{1/x}$ ____（填：存在值/不存在）

13. $\int_{-\pi}^{\pi}x^3\cos x\,dx$ = ____

14. 曲线 $y=x(x-1)(x-2)$ 的拐点个数为 ____

15. $y''-5y'+6y=0$ 的通解为 ____

16. $y=x^3-3x$ 的单调减区间为 ____

17. 设 $\sum a_n$ 收敛，则 $\sum(a_n+2026)$ ____（敛/散）

18. $\int_0^1(2x+1)\,dx$ = ____

19. $z=\ln(x^2+y^2)$ ，则 $z_x$ = ____

20. 曲线 $y=e^x$ 的水平渐近线为 ____