$1-\cos 2x \sim \frac{(2x)^2}{2}=2x^2$ → 极限 = 2。考点：等价无穷小（禁术 6）。

分子最高二次 < 分母最高三次（x→∞）→ 0。考点：抓大头（禁术 4）。

$0\cdot\infty$ 型：翻到分母 $\lim\frac{\ln x}{1/x}\xrightarrow{\text{洛}}\lim\frac{1/x}{-1/x^2}=-\lim x=0$。考点：题型 6。

$1^\infty$ 套壳：$e^{\lim n\cdot\frac2n}=e^2$。考点：禁术 5。

连续：$1+a=2+b$；可导：左导 2 = 右导 a → a=2, b=1。考点：题型 6/11（禁术 8）。

$y'=2x+2$，$y'(1)=4$ → 切线 $y=4x-1$。考点：题型 2。

链式：$y'=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x$。考点：题型 1。

乘积法则 + 链式：$y'=3e^{3x}\cos 2x-2e^{3x}\sin 2x=e^{3x}(3\cos 2x-2\sin 2x)$。考点：题型 1/4。

两边求导：$3x^2+3y^2y'=3y+3xy'$ → $y'=\dfrac{y-x^2}{y^2-x}$。考点：题型 3（注意 y² 求导带 y′）。

$\frac{dy}{dx}=\frac{2t}{3t^2}=\frac{2}{3t}$。考点：题型 4。

$f'=3(x-1)(x-3)$：极大 $f(1)=4$，极小 $f(3)=0$。考点：题型 2（ch3）。

驻点 x=0,1；候选 $f(-1)=-5,\ f(0)=0,\ f(1)=-1,\ f(2)=4$ → 最大 4，最小 −5。考点：题型 3（ch3）。

$x^3-x^2+x+C$。考点：题型 1（ch4），别忘了 C。

凑微分：$\frac12\int\frac{d(x^2+4)}{x^2+4}=\frac12\ln(x^2+4)+C$。考点：题型 2 + 禁术（同幂凑 ln）。

$\frac12e^{2x}+C$。考点：题型 3（系数坑）。

分部：$x\sin x+\cos x+C$。考点：题型 4。

分部（对数当 u）：$x\ln x-\int 1\,dx=x\ln x-x+C$。考点：题型 5。

$\left[\ln x+\dfrac{x^2}{2}\right]_1^e=1+\dfrac{e^2-1}{2}=\dfrac{e^2+1}{2}$。考点：题型 1（ch5）。

分部：$[-x\cos x]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}\cos x\,dx=\pi$。考点：ch5 题型 5；警惕深坑 B1（x·sinx 是偶函数且区间不对称）。

拆区间：$\int_0^1(1-x)+\int_1^2(x-1)=\frac12+\frac12=1$。考点：题型 3（ch5）。

分离：$e^{-y}dy=e^xdx$ → $-e^{-y}=e^x+C$。考点：题型 1（ch6）。

乘 $e^x$：$(ye^x)'=1$ → $y=(x+C)e^{-x}$。考点：题型 2（ch6，凑乘积导数）。

$(r-3)(r+1)=0$ → $y=C_1e^{3x}+C_2e^{-x}$。考点：题型 3（ch6）。

通解 $y=C_1\cos x+C_2\sin x$；代条件 → $C_1=2,\ C_2=-1$ → $y=2\cos x-\sin x$。考点：题型 4（ch6）。

$\sum\frac{1}{2^n}$ 收敛（等比 |q|=1/2）→ 绝对收敛。考点：题型 5（ch7）。

$\frac{n}{n^2+1}\sim\frac1n$，调和级数发散 → 比较 → 发散。考点：题型 3（ch7）。

$R=\lim\frac{a_n}{a_{n+1}}=1$；x=1 时 $\sum\frac1n$ 发散，x=−1 时 $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ 收敛 → 收敛域 [−1, 1)。考点：题型 6（ch7）。

$z_x=2x+y,\ z_y=x+2y$ → $dz=(2x+y)dx+(x+2y)dy$。考点：题型 3（ch9）。

区域 $x^2\le y\le1,\ 0\le x\le1$ → Y 型：$\int_0^1 dy\int_0^{\sqrt y}f\,dx$。考点：题型 7（ch9）。

交点 (0,0)、(1,1)；$\sqrt x \ge x^2$（0<x<1）：

考点：ch5 题型 7/8 + ch9 综合关联。