🎯 浙江考纲定位：综合题 3 × 10 = 30 分，是拉开分差的地方。题型高度固定，把下面几个套路练熟就是稳定得分。

🧩 题型库：综合题四大套路

套路 1：方程根的存在性与唯一性（零点定理 + 单调性）

标准答题模板（背下来）：

1. 设 $F(x)=\text{左边}-\text{右边}$（移项构造辅助函数）
2. $F$ 在区间上连续（写出来）
3. 算两端点：$F(a)<0,\ F(b)>0$（异号）→ 由零点定理存在零点
4. 求导 $F'(x)>0$（或 <0）恒成立 → 单调 → 零点唯一

例：证明 $x^3+x-1=0$ 在 (0,1) 内有唯一实根。 $F(x)=x^3+x-1$ 连续，$F(0)=-1<0$，$F(1)=1>0$ → 存在；$F'(x)=3x^2+1>0$ 单调增 → 唯一 ✅

套路 2：中值定理证明题

识别信号 → 选定理：

构造辅助函数口诀：把结论里的 $\xi$ 换成 $x$，移项，缺什么乘什么——常见乘子 $e^x$、$x$。 例：$f$ 在 [0,1] 连续可导，$f(0)=f(1)=0$，证明存在 $\xi$ 使 $f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$：构造 $F(x)=xf(x)$，$F(0)=F(1)=0$，罗尔 → $F'=f+xf'$ 存在零点 ✅

套路 3：不等式证明（单调性法）

标准模板：

1. 构造 $F(x)=\text{左}-\text{右}$
2. 求 $F'$，判单调（必要时求 $F''$ 辅助）
3. 算端点值 $F(x_0)$，由单调性推出 $F(x)>F(x_0)\ge0$

例：证明 $e^x>1+x\ (x\neq0)$：$F(x)=e^x-1-x$，$F'(x)=e^x-1$；x>0 时增、x<0 时减，$F(0)=0$ 是最小值 → $F(x)>0$ ✅

套路 4：变上限积分综合题

常见考法：

• $F(x)=\int_0^x f(t)dt$ 的奇偶性：f 偶 → F 奇；f 奇 → F 偶（背结论）
• 求单调区间/极值：$F'(x)=f(x)$，转化成对 f 的讨论
• 方程 $F(x)=0$ 根的存在性：零点定理 + $F'$ 定唯一

例：$f$ 连续且 $f(x)>0$，证明 $F(x)=\int_0^x f(t)dt$ 单调增：$F'(x)=f(x)>0$ ✅

⚠️ 证明题通用丢分点

1. 没写定理条件：用零点定理/罗尔定理前，必须先写「在闭区间连续、开区间可导」并验证
2. 构造函数不交代：设 $F(x)$ 要写清楚来龙去脉，直接蹦出函数会被扣分
3. 结论写成「存在唯一」但只证了「存在」——两段式缺一不可
4. 过程跳步：综合题按步骤给分，宁可啰嗦不要省略

📝 基础练习（先做后看答案）

1. 证明 $e^x-3x=0$ 在 (0,1) 内有唯一实根
2. 证明：当 $x>0$ 时 $x>\ln(1+x)$
3. $f$ 在 [0,1] 连续可导，$f(0)=1,\ f(1)=0$，证明存在 $\xi\in(0,1)$ 使 $f'(\xi)=-1$
4. $f(t)>0$ 连续，$F(x)=\int_0^xf(t)dt$，证明 $F(x)$ 单调增且 $F(x)=0$ 只有零解

✏️ 真题演练

📌 浙江综合题近年在「方程根的存在性、不等式证明、最值应用、面积/旋转体」间轮动，把你遇到的真题贴进来。

🔗 相关笔记

• 最值应用题题型见第 3 章题型 4，几何应用见第 5 章题型 7-8