🎯 浙江考纲定位：一元微积分板块。计算题常考定积分计算，综合题常考面积/旋转体。

🎯 考纲要求

  • 理解定积分的概念与几何意义
  • 掌握牛顿—莱布尼茨公式
  • 掌握定积分的换元法与分部积分法
  • 理解变上限积分函数，会求其导数
  • 会用定积分求平面图形面积、旋转体体积

📖 核心公式库

  • 牛顿—莱布尼茨：∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)
  • 变上限求导：ddx∫aφ(x)f(t)dt=f(φ(x))⋅φ′(x)\frac{d}{dx}\int_a^{\varphi(x)}f(t)dt=f(\varphi(x))\cdot\varphi'(x)
  • 面积：S=∫ab[上−下]dxS=\int_a^b[\text{上}-\text{下}]dx
  • 旋转体（绕 x 轴）：V=π∫abf2(x)dxV=\pi\int_a^b f^2(x)dx（环状：外平方 − 内平方）

⚡ 快速解法（秒杀技巧）

  • 对称区间先想奇偶：奇函数 = 0，偶函数 = 2 倍半区间
  • 周期性：∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx\int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^T f(x)dx
  • 华里士公式（若考纲涉及）：∫0π/2sin⁡nx dx\int_0^{\pi/2}\sin^nx\,dx 双阶乘速算

🧩 题型库：历年考法全覆盖（完整解法版）

题型 1：直接计算（送分）

例：∫01(3x2+2x)dx=[x3+x2]01=2\int_0^1(3x^2+2x)dx=[x^3+x^2]_0^1=2 ✅

题型 2：对称区间奇偶秒杀（填空高频）

例：∫−11(x3+x2+1)dx\int_{-1}^{1}(x^3+x^2+1)dx：x³ 奇 → 消；2∫01(x2+1)dx=2(13+1)=832\int_0^1(x^2+1)dx=2(\frac13+1)=\frac83 ✅

题型 3：含绝对值 / 分段（计算题常客）

流程：变号点拆区间，去绝对值再积。 例：∫02∣x−1∣dx\int_0^2|x-1|dx：变号点 x=1 →

∫01(1−x)dx+∫12(x−1)dx=12+12=1\int_0^1(1-x)dx+\int_1^2(x-1)dx=\frac12+\frac12=1

✅

题型 4：换元必换限

例：∫04dx1+x\int_0^4\frac{dx}{1+\sqrt{x}}：令 t=xt=\sqrt{x}，x=0→t=0，x=4→t=2，dx=2t dtdx=2t\,dt →

∫022t1+tdt=∫02(2−21+t)dt=[2t−2ln⁡(1+t)]02=4−2ln⁡3\int_0^2\frac{2t}{1+t}dt=\int_0^2\left(2-\frac{2}{1+t}\right)dt=[2t-2\ln(1+t)]_0^2=4-2\ln3

✅

题型 5：定积分分部

例：∫01xexdx=[xex]01−∫01exdx=e−(e−1)=1\int_0^1 xe^x dx=[xe^x]_0^1-\int_0^1e^xdx=e-(e-1)=1 ✅

题型 6：变上限积分求导（填空高频，三个变体）

变体例答案
上限是函数ddx∫0x2sin⁡t dt\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\sin t\,dt2xsin⁡(x2)2x\sin(x^2)
下限含 xddx∫x0cos⁡t dt\frac{d}{dx}\int_x^0\cos t\,dt−cos⁡x-\cos x
被积函数含 xddx∫0xxf(t)dt\frac{d}{dx}\int_0^x xf(t)dt先提 x：∫0xf(t)dt+xf(x)\int_0^xf(t)dt+xf(x)（乘积法则）

题型 7：平面图形面积（综合题常客）

流程：① 联立求交点 → ② 画图定上下 → ③ 积分 → ④ 作答。

例：y=x2y=x^2 与 y=xy=x：交点 (0,0)、(1,1)；在 (0,1) 内 x > x² →

S=∫01(x−x2)dx=12−13=16S=\int_0^1(x-x^2)dx=\frac12-\frac13=\frac16

✅ 例 2：y=x2y=x^2 与 y=2xy=2x：交点 (0,0)、(2,4)，S=∫02(2x−x2)dx=4−83=43S=\int_0^2(2x-x^2)dx=4-\frac83=\frac43 ✅

题型 8：旋转体体积（综合题常客）

例：y=2x−x2y=2x-x^2 与 x 轴所围图形绕 x 轴旋转：

V=π∫02(2x−x2)2dx=π∫02(4x2−4x3+x4)dx=π(323−16+325)=16π15V=\pi\int_0^2(2x-x^2)^2dx=\pi\int_0^2(4x^2-4x^3+x^4)dx =\pi\left(\frac{32}{3}-16+\frac{32}{5}\right)=\frac{16\pi}{15}

✅ 例 2（圆环）：y=xy=\sqrt x 与 y=xy=x 之间绕 x 轴：V=π∫01(x−x2)dx=π6V=\pi\int_0^1(x-x^2)dx=\frac{\pi}{6} ✅

题型 9：定积分性质判断（选择）

比较大小：同区间上 f(x)≤g(x)f(x)\le g(x) ⇒ 积分同序；估值：m(b−a)≤∫abf≤M(b−a)m(b-a)\le\int_a^bf\le M(b-a)；积分中值定理。

题型 10：变上限函数的综合（综合储备）

F(x)=∫0xf(t)dtF(x)=\int_0^xf(t)dt：F′F' 单调看 f 的符号；奇偶性「f 偶 → F 奇，f 奇 → F 偶」；F(x)=0F(x)=0 根的存在性 → 零点定理 + 单调。

📝 基础练习（先做后看答案）

  1. ∫01(3x2+1)dx\int_0^1(3x^2+1)dx
  2. ∫−22x3dx\int_{-2}^{2}x^3dx
  3. ∫0πsin⁡x dx\int_0^{\pi}\sin x\,dx
  4. ∫02∣x−1∣dx\int_0^2|x-1|dx
  5. ∫1e1xdx\int_1^e\frac{1}{x}dx
  6. ddx∫0xcos⁡t dt\frac{d}{dx}\int_0^x\cos t\,dt
  7. ddx∫0x2etdt\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}e^t dt
  8. ∫01xexdx\int_0^1xe^xdx
  9. y=x2y=x^2 与 y=xy=x 所围面积
  10. y=xy=\sqrt x 在 [0,1] 下绕 x 轴的旋转体体积
  11. ∫0π/2sin⁡x dx\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx
  12. ∫−11(x5+x2)dx\int_{-1}^{1}(x^5+x^2)dx
答案与解析（先自己做！）
  1. [x3+x]01=2[x^3+x]_0^1=2
  2. 奇函数对称区间 → 0
  3. [−cos⁡x]0π=1+1=2[-\cos x]_0^{\pi}=1+1=2
  4. 12+12=1\frac12+\frac12=1
  5. ln⁡e−ln⁡1=1\ln e-\ln1=1
  6. cos⁡x\cos x
  7. ex2⋅2xe^{x^2}\cdot2x
  8. [xex−ex]01=(e−e)−(0−1)=1[xe^x-e^x]_0^1=(e-e)-(0-1)=1
  9. ∫01(x−x2)dx=16\int_0^1(x-x^2)dx=\frac16
  10. π∫01x dx=π2\pi\int_0^1x\,dx=\frac{\pi}{2}
  11. [−cos⁡x]0π/2=1[-\cos x]_0^{\pi/2}=1
  12. x⁵ 奇消掉，2∫01x2dx=232\int_0^1x^2dx=\frac23

⚠️ 易错点

  1. 换元必换限
  2. 绝对值积分不拆区间 = 错
  3. 奇偶性先查区间对称性
  4. 面积用「上减下」；曲线在 x 轴下方时取 ∣f(x)∣|f(x)|
  5. 旋转体是平方后相减 π∫(R2−r2)\pi\int(R^2-r^2)，不是 π∫(R−r)2\pi\int(R-r)^2
  6. 变上限被积函数含 x 时不能直接套公式

✏️ 真题演练

📌 贴你做过的浙江真题（原题 → 解法 → 错因），按题型编号归类。

🔗 相关笔记

  • （相关备考日记放这里）
4 · 不定积分 6 · 微分方程
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