🎯 浙江考纲定位：一元微积分板块。计算题必出求导，填空常考切线与微分。

🎯 考纲要求

  • 理解导数定义（会用定义求导、判断可导性与连续性的关系）
  • 掌握基本初等函数导数公式、四则运算求导、复合函数求导（链式法则）
  • 会求隐函数、参数方程确定的函数的导数
  • 理解高阶导数，会求简单函数的二阶导数
  • 理解微分概念，会求微分

📖 核心公式库

1. 基本导数表（背到条件反射）

(xa)′=axa−1,(ax)′=axln⁡a,(ex)′=ex(x^a)'=ax^{a-1},\quad (a^x)'=a^x\ln a,\quad (e^x)'=e^x(ln⁡x)′=1x,(log⁡ax)′=1xln⁡a,(x)′=12x(\ln x)'=\frac{1}{x},\quad (\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a},\quad (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}(sin⁡x)′=cos⁡x,(cos⁡x)′=−sin⁡x,(tan⁡x)′=sec⁡2x,(cot⁡x)′=−csc⁡2x(\sin x)'=\cos x,\quad (\cos x)'=-\sin x,\quad (\tan x)'=\sec^2 x,\quad (\cot x)'=-\csc^2 x(sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x,(arctan⁡x)′=11+x2,(arcsin⁡x)′=11−x2(\sec x)'=\sec x\tan x,\quad (\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2},\quad (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

2. 四则与结构公式

(uv)′=u′v+uv′,(uv)′=u′v−uv′v2(uv)'=u'v+uv',\qquad \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}dydx=dydu⋅dudx （链式，洋葱从外往里剥）\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}\ \text{（链式，洋葱从外往里剥）}

🧩 题型库：历年考法全覆盖（完整解法版）

题型 1：复合函数求导（计算题常客）

方法：逐层剥洋葱，每层用「外层导 × 内层导」，层数多时宁写两步不要心算。

例 1：y=ln⁡(1+ex)y=\ln(1+e^x)

y′=11+ex⋅(1+ex)′=ex1+exy'=\frac{1}{1+e^x}\cdot(1+e^x)'=\frac{e^x}{1+e^x}

例 2：y=esin⁡2xy=e^{\sin 2x}（两层复合：指数函数 → 正弦 → 2x）

y′=esin⁡2x⋅cos⁡2x⋅2=2cos⁡2x esin⁡2xy'=e^{\sin 2x}\cdot\cos 2x\cdot 2=2\cos 2x\,e^{\sin 2x}

⚠️ 最外层写完导数后，内层的导数链一个都不能丢。

题型 2：切线与法线方程（填空高频）

方法：切线斜率 k=y′(x0)k=y'(x_0)；切线 y−y0=k(x−x0)y-y_0=k(x-x_0)；法线斜率 −1k-\frac{1}{k}（k≠0）。

例：曲线 y=x3y=x^3 上横坐标为 1 的点处： ① 点：(1,1)；② 斜率 y′(1)=3y'(1)=3；③ 切线 y=3x−2y=3x-2；④ 法线 y=−13x+43y=-\frac13x+\frac43 ✅

变式（切点未知）：曲线 y=x2y=x^2 上过点 (0,−4) 的切线——切点不在已知点上！设切点 (a,a2)(a,a^2)，切线 y=2ax−a2y=2ax-a^2，代 (0,−4)：−4=−a2-4=-a^2 → a=±2a=\pm2，两条切线 ✅

题型 3：隐函数求导（计算题常客）

方法：两边对 x 求导，凡是 y 的项都带 y′y'，最后解出 y′y'。

例：ey+xy−e=0e^y+xy-e=0，求 y′y'：

ey⋅y′+(y+xy′)=0 ⇒ y′(ey+x)=−y ⇒ y′=−yey+xe^y\cdot y' + (y + x y') = 0 \ \Rightarrow\ y'(e^y+x)=-y \ \Rightarrow\ y'=\frac{-y}{e^y+x}

求「在指定点的导数」时：先把点的坐标代入化简后的式子，数字比字母好算。

题型 4：参数方程求导（含二阶）

方法：一阶 dydx=y′(t)x′(t)\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)}；二阶 = 「一阶导再对 t 求导 ÷ x′(t)x'(t)」。

例：x=t2, y=t3x=t^2,\ y=t^3：

dydx=3t22t=3t2,d2ydx2=(3t/2)′2t=3/22t=34t\frac{dy}{dx}=\frac{3t^2}{2t}=\frac{3t}{2},\qquad \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{(3t/2)'}{2t}=\frac{3/2}{2t}=\frac{3}{4t}

⚠️ 二阶不是 y′′(t)/x′′(t)y''(t)/x''(t)（那是 3/03/0，荒谬结果就是信号）。

题型 5：对数求导法（幂指 / 多因子连乘）

方法：两边取 ln 化乘为加，再求导。适合 u(x)v(x)u(x)^{v(x)} 和长串乘除开方。

例：y=xsin⁡xy=x^{\sin x}：ln⁡y=sin⁡xln⁡x\ln y=\sin x\ln x →

y′y=cos⁡xln⁡x+sin⁡xx ⇒ y′=xsin⁡x(cos⁡xln⁡x+sin⁡xx)\frac{y'}{y}=\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x} \ \Rightarrow\ y'=x^{\sin x}\left(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\right)

例：y=(x−1)(x−2)x−3y=\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{x-3}}：取对数 ln⁡y=12[ln⁡(x−1)+ln⁡(x−2)−ln⁡(x−3)]\ln y=\frac12[\ln(x-1)+\ln(x-2)-\ln(x-3)]，求导后代回 ✅

题型 6：分段函数分界点可导性（选择高频）

方法：必须用定义分别求左右导数，相等才可导；同时核对连续性（可导必连续）。

例：f(x)={x2+1,x≤1ax,x>1f(x)=\begin{cases}x^2+1, & x\le1\\ ax, & x>1\end{cases}，求 aa 使 f 在 x=1 可导： ① 连续：a=f(1)=2a=f(1)=2；② 左导 = 2x∣x=1=22x|_{x=1}=2，右导 = a → a=2a=2 ✅（两个条件一个都不能省）

题型 7：用定义 / 导数定义式求极限（选择常考）

方法：认出 f(x+h)−f(x)h\frac{f(x+h)-f(x)}{h} 结构。

例：f′(2)f'(2) 存在，求 lim⁡h→0f(2+h)−f(2−h)h\lim_{h \to 0}\frac{f(2+h)-f(2-h)}{h}：

=lim⁡[f(2+h)−f(2)]−[f(2−h)−f(2)]h=f′(2)+f′(2)=2f′(2)=\lim\frac{[f(2+h)-f(2)]-[f(2-h)-f(2)]}{h}=f'(2)+f'(2)=2f'(2)

✅ 缺了 f(2)f(2) 就补一个 f(2)f(2)，这是这类题的钥匙。

题型 8：高阶导数

例：y=xexy=xe^x：y′=ex(x+1)y'=e^x(x+1)，y′′=ex(x+2)y''=e^x(x+2)，归纳得 y(n)=ex(x+n)y^{(n)}=e^x(x+n) ✅ 公式：(sin⁡x)(n)=sin⁡(x+n⋅π2)(\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\cdot\frac{\pi}{2})，(ex)(n)=ex(e^x)^{(n)}=e^x，(xm)(n)(x^m)^{(n)} 逐次降幂。

题型 9：微分计算与近似应用（填空常客）

方法：dy=f′(x)dxdy=f'(x)dx；近似 f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δxf(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x。

例：求 4.02\sqrt{4.02} 的近似值：f(x)=xf(x)=\sqrt{x}，x₀=4，Δx=0.02：f(4)=2f(4)=2，f′(4)=14f'(4)=\frac14 → 4.02≈2+14⋅0.02=2.005\sqrt{4.02}\approx 2+\frac14\cdot0.02=2.005 ✅

题型 10：可导性判断综合（选择）

口诀链：可导 ⇒ 连续；不连续 ⇒ 不可导；连续 ⇏ 可导。 常考反例：y=∣x∣y=|x|（连续不可导）、y=x3y=\sqrt[3]{x}（0 点切线竖直，导数 → ∞）。

题型 11：含参数的连续 + 可导双条件（填空变体）

例：f(x)={x2,x≤x0ax+b,x>x0f(x)=\begin{cases}x^2, & x\le x_0\\ ax+b, & x>x_0\end{cases} 在 x0x_0 可导 → 两个方程：① 连续 ax0+b=x02ax_0+b=x_0^2；② 左右导数相等 a=2x0a=2x_0 → b=−x02b=-x_0^2 ✅

📝 基础练习（先做后看答案）

  1. y=x3−3x2+5y=x^3-3x^2+5，求 y′y'
  2. y=xexy=xe^x，求 y′y'
  3. y=ln⁡(2x+1)y=\ln(2x+1)，求 y′y'
  4. y=sin⁡2xy=\sin^2 x，求 y′y'
  5. y=e−x2y=e^{-x^2}，求 y′y'
  6. y=arctan⁡2xy=\arctan 2x，求 y′y'
  7. x2+y2=25x^2+y^2=25，求 y′y'
  8. y=ln⁡xxy=\frac{\ln x}{x}，求 y′y'
  9. y=x3y=x^3 在 (1,1) 处的切线方程
  10. x=t2, y=4tx=t^2,\ y=4t，求 dydx\frac{dy}{dx}
  11. f(x)={x2+1,x≤1ax,x>1f(x)=\begin{cases}x^2+1,& x\le1\\ ax,& x>1\end{cases}，求 a 使 f 处处连续可导
  12. 求 d(e3x)d(e^{3x})
答案与解析（先自己做！）
  1. y′=3x2−6xy'=3x^2-6x
  2. y′=ex(x+1)y'=e^x(x+1)
  3. y′=22x+1y'=\frac{2}{2x+1}（内层导 2 别丢）
  4. y′=2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2xy'=2\sin x\cos x=\sin 2x
  5. y′=−2xe−x2y'=-2xe^{-x^2}
  6. y′=21+4x2y'=\frac{2}{1+4x^2}
  7. 2x+2yy′=02x+2yy'=0 → y′=−xyy'=-\frac{x}{y}
  8. y′=(1/x)⋅x−ln⁡xx2=1−ln⁡xx2y'=\frac{(1/x)\cdot x-\ln x}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}
  9. y′=3x2y'=3x^2 → k=3，切线 y=3x−2y=3x-2
  10. dydx=42t=2t\frac{dy}{dx}=\frac{4}{2t}=\frac{2}{t}
  11. 连续：a=2a=2；可导：左导 2 = 右导 a → a=2a=2 ✅
  12. d(e3x)=3e3xdxd(e^{3x})=3e^{3x}dx

⚠️ 易错点

  1. 分段函数分界点求导必须用定义，代公式漏左右讨论
  2. f′(x0)f'(x_0)（导数值）≠ [f(x0)]′[f(x_0)]'（常数求导 = 0）
  3. 隐函数中 y2y^2 求导 = 2yy′2yy'，eye^y 求导 = eyy′e^y y'，y 的项漏乘 y′y' 最常见
  4. 参数方程二阶导不是 y′′(t)/x′′(t)y''(t)/x''(t)
  5. 法线斜率是负倒数；切线斜率不存在时切线是竖直线 x=x0x=x_0
  6. 复合函数漏内层导（e−x2e^{-x^2} 写成 e−x2e^{-x^2} 的导数时丢 −2x-2x 是经典事故）

✏️ 真题演练

📌 贴你做过的浙江真题（原题 → 解法 → 错因），按题型编号归类。

🔗 相关笔记

  • （相关备考日记放这里）