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一、极限

两个重要极限：

等价无穷小（x→0）：

1^∞ 秒杀：$\lim u^v=e^{\lim v(u-1)}$　|　抓大头：只适用 x→∞，比最高次系数

二、导数与微分

导数表：$(x^a)'=ax^{a-1}$，$(a^x)'=a^x\ln a$，$(e^x)'=e^x$，$(\ln x)'=\frac1x$，$(\sin x)'=\cos x$，$(\cos x)'=-\sin x$，$(\tan x)'=\sec^2x$，$(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$，$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

四则：$(uv)'=u'v+uv'$，$\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$　|　链式：外层导×内层导　|　参数：$\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)}$

微分：$dy=y'dx$　|　切线：$y-y_0=y'(x_0)(x-x_0)$，法线斜率 $-\frac{1}{y'(x_0)}$

三、中值定理与导数应用

罗尔：连续+可导+端点等值 → $f'(\xi)=0$　|　拉格朗日：$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$

极值流程：定义域 → f’ → 驻点+不可导点 → 列表变号　|　最值：+ 端点全代入

拐点：f’’ 变号点（含不存在点），写坐标　|　渐近线：垂直（分母零点且约分后≠0）→ 水平 → 斜（$k=\lim\frac fx$）

四、积分

基本表：$\int x^a dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C$（a≠−1），$\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$，$\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$，$\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C$

推广：$\int\frac{dx}{a^2+x^2}=\frac1a\arctan\frac xa+C$，$\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$

凑微分：$x\,dx=\frac12d(x^2)$，$\frac{dx}{x}=d\ln x$，$e^xdx=de^x$，$\sin x\,dx=-d\cos x$，$\frac{dx}{\sqrt x}=2d\sqrt x$

分部：$\int u\,dv=uv-\int v\,du$（u 选「反对幂三指」排前者；循环型移项）

定积分：换元必换限｜对称区间查奇偶｜华里士：$\int_0^{\pi/2}\sin^nx=\frac{(n-1)!!}{n!!}$（×π/2 当 n 偶）

应用：面积 $\int(\text{上}-\text{下})$｜旋转体 $V=\pi\int f^2$（环：$\pi\int(R^2-r^2)$）

变限求导：$\frac{d}{dx}\int_a^{\varphi(x)}f(t)dt=f(\varphi(x))\varphi'(x)$；双限：$\left(\int_x^{x^2}\right)'=2xf(x^2)-f(x)$

五、微分方程

一阶线性 $y'+P y=Q$：$y=e^{-\int P}\left(\int Qe^{\int P}dx+C\right)$

特征根 $r^2+pr+q=0$：两根 $C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$｜重根 $(C_1+C_2x)e^{rx}$｜复根 $e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

特解：$y^*=x^kQ_m(x)e^{\lambda x}$，k=λ 作为特征根的重数（0/1/2）；多项式特解次数取 k+m

六、级数

等比 $\sum aq^n$：$|q|<1$ 收敛，和 $\frac{a}{1-q}$　|　p 级数：p>1 敛，p≤1 散

比值：$\rho=\lim\frac{u_{n+1}}{u_n}$，ρ<1 敛 / >1 散 / =1 失效　|　莱布尼茨：单调减+趋零

幂级数：$R=\lim\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$，端点单独验　|　拆项：$\frac{1}{n(n+k)}=\frac1k\left(\frac1n-\frac{1}{n+k}\right)$

七、多元微积分

偏导：其他变量当常数｜全微分：$dz=f_xdx+f_ydy$

二重积分：先画区域再定限；交换次序：外层常数、内层含参；极坐标（若考）：$d\sigma=r\,dr\,d\theta$ 多乘 r

极值：$f_x=f_y=0$ → $AC-B^2>0$ 且 A<0 极大 / A>0 极小

八、考前十大防错（30 秒过一遍）

1. 加减不乱换等价　2. 洛必达先验型　3. $\sqrt{x^2}=|x|$　4. 隐函数 y 项带 y′　5. 参数二阶除 x′(t)
2. 不定积分 +C　7. 凑微分除系数　8. 定积分换元换限　9. 旋转体 $R^2-r^2$　10. 极坐标多乘 r