🎯 浙江考纲定位：一元微积分板块（占分约 80%），本章是填空题第一高频区。

🎯 考纲要求

  • 理解函数概念，会求定义域、值域，理解函数的单调性、奇偶性、周期性
  • 理解极限概念，掌握极限四则运算法则
  • 掌握两个重要极限，会用等价无穷小替换求极限
  • 理解函数连续性概念，会判断间断点及其类型
  • 了解闭区间上连续函数的性质（最值、介值定理）

📖 核心公式与方法库

1. 等价无穷小速查（x→0，必须背到条件反射）

x∼sin⁡x∼tan⁡x∼arcsin⁡x∼arctan⁡x∼ln⁡(1+x)∼ex−1x \sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x \sim \ln(1+x) \sim e^x-11−cos⁡x∼x22,(1+x)α−1∼αx,ax−1∼xln⁡a1-\cos x \sim \frac{x^2}{2},\qquad (1+x)^{\alpha}-1 \sim \alpha x,\qquad a^x-1 \sim x\ln a

2. 求极限方法优先级

直接代入 → 化简变形（有理化/拆项/对数和差转乘积）→ 等价替换 → 洛必达 → 夹逼/定积分定义

⚡ 快速解法（秒杀技巧）

  • 抓大头：∞/∞\infty/\infty 直接比最高次项系数
  • 1∞1^{\infty} 秒杀：lim⁡uv=elim⁡v(u−1)\lim u^v=e^{\lim v(u-1)}
  • 等价先行：乘除因子先替换再评估要不要洛必达
  • 左右极限信号词：e1/xe^{1/x}、arctan⁡1x\arctan\frac1x、∣x∣|x|、分段函数

🧩 题型库：历年考法全覆盖（完整解法版）

题型 1：0/0 基础型（选择/填空必考）

例：lim⁡x→0sin⁡3xtan⁡5x\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{\tan 5x}：乘除因子直接换，sin⁡3x∼3x\sin 3x \sim 3x，tan⁡5x∼5x\tan 5x \sim 5x → 3x5x=35\frac{3x}{5x}=\frac35 ✅

题型 2：∞/∞ 抓大头

例：lim⁡x→∞2x2−3x+13x2+x\lim_{x \to \infty}\frac{2x^2-3x+1}{3x^2+x} → 系数比 23\frac23 ✅ 推广：分子次数低 → 0；高 → ∞\infty。填空题直接写结论。

题型 3：1^∞ 幂指型（填空高频）

例：lim⁡x→∞(x+2x)3x\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x+2}{x}\right)^{3x}：

u=x+2x→1, v=3x→∞ ⇒ lim⁡= elim⁡v(u−1)=elim⁡3x⋅2x=e6u=\frac{x+2}{x}\to1,\ v=3x\to\infty \ \Rightarrow\ \lim=\ e^{\lim v(u-1)}=e^{\lim 3x\cdot\frac{2}{x}}=e^6

✅ 步骤：找 u、v → 算 v(u−1)v(u-1) → 答案 e该极限e^{\text{该极限}}。

题型 4：∞−∞ 型

例：lim⁡x→0(1x−1sin⁡x)\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}\right)：通分 → lim⁡sin⁡x−xxsin⁡x\lim\frac{\sin x-x}{x\sin x}；分母 ∼x2\sim x^2；分子 sin⁡x−x∼−x36\sin x-x\sim-\frac{x^3}{6} → lim⁡−x3/6x2=lim⁡−x6=0\lim\frac{-x^3/6}{x^2}=\lim\frac{-x}{6}=0 ✅

题型 5：根式差有理化

例：lim⁡x→+∞(x2+x−x)\lim_{x \to +\infty}(\sqrt{x^2+x}-x)：乘共轭 →

lim⁡xx2+x+x=lim⁡11+1/x+1=12\lim\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\lim\frac{1}{\sqrt{1+1/x}+1}=\frac12

✅ 分子分母同除 x 时注意 x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|，x→+∞ 时 = x。

题型 6：0·∞ 型

例：lim⁡x→0+xln⁡x\lim_{x \to 0^+}x\ln x：把 x 翻到分母 → lim⁡ln⁡x1/x→洛lim⁡1/x−1/x2=lim⁡(−x)=0\lim\frac{\ln x}{1/x}\xrightarrow{\text{洛}}\lim\frac{1/x}{-1/x^2}=\lim(-x)=0 ✅

题型 7：左右极限分段算

例：lim⁡x→0∣x∣x\lim_{x \to 0}\frac{|x|}{x}：左 −1，右 1，不相等 → 不存在 ✅ 例 2：lim⁡x→0e1/x1+e1/x\lim_{x \to 0}\frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}}：左 e1/x→0e^{1/x}\to0 → 0；右 → 1 → 不存在 ✅

题型 8：含参数的连续性（填空高频）

例：f(x)=x2−1x−1 (x≠1)f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\ (x\neq1)，f(1)=af(1)=a 处处连续：

lim⁡x→1f(x)=lim⁡(x+1)=2 ⇒ a=2\lim_{x \to 1}f(x)=\lim(x+1)=2\ \Rightarrow\ a=2

✅ 套路：连续 = 极限值 = 函数值，把参数解出来。

题型 9：间断点分类（选择/填空高频）

流程：找无定义点 → 算左右极限 → 对照分类。 例：f(x)=x2−1x2−3x+2f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}：无定义点 x=1, 2。 x=1：f=(x−1)(x+1)(x−1)(x−2)f=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)} → lim⁡x→1=2−1=−2\lim_{x\to1}=\frac{2}{-1}=-2 存在 → 可去间断点（第一类）； x=2：分母 → 0 分子 ≠ 0 → ∞\infty → 无穷间断点（第二类）✅

题型 10：n 项和极限（综合储备）

例：lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+nn2)\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\cdots+\frac{n}{n^2}\right)：先求和 n(n+1)/2n2→12\frac{n(n+1)/2}{n^2}\to\frac12 ✅ 另一路：∑i=1nnn2+i2\sum_{i=1}^n\frac{n}{n^2+i^2} 型用定积分定义（综合题）。

题型 11：无穷小阶的比较（选择常考）

例：x→0x \to 0 时 1−cos⁡x1-\cos x 是几阶？∼x22\sim\frac{x^2}{2} → 2 阶 ✅ 口诀：替换后数 xx 的次数。

题型 12：零点定理 / 介值定理（选择）

条件：闭区间连续 + 端点异号 ⇒ 存在零点。「至少一个」≠「唯一」；要唯一加「严格单调」。

📝 基础练习（先做后看答案）

  1. lim⁡x→2x2−4x−2\lim_{x \to 2}\frac{x^2-4}{x-2}
  2. lim⁡x→0tan⁡3xsin⁡5x\lim_{x \to 0}\frac{\tan 3x}{\sin 5x}
  3. lim⁡x→∞2x3−x3x3+1\lim_{x \to \infty}\frac{2x^3-x}{3x^3+1}
  4. lim⁡x→01−cos⁡xx2\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}
  5. lim⁡x→0e2x−1x\lim_{x \to 0}\frac{e^{2x}-1}{x}
  6. lim⁡x→∞(1+3x)2x\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^{2x}
  7. lim⁡x→01+x−1x\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}
  8. lim⁡x→0xcot⁡x\lim_{x \to 0}x\cot x
  9. aa 为何值时 f(x)=x2−3x+2x−1 (x≠1), f(1)=af(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}\ (x\neq1),\ f(1)=a 连续
  10. 指出 f(x)=1x−1f(x)=\frac{1}{x-1} 的间断点类型
  11. lim⁡n→∞(1+1n)n+2\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+2}
  12. lim⁡x→0x−sin⁡xx3\lim_{x \to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}
答案与解析（先自己做！）
  1. lim⁡(x+2)=4\lim(x+2)=4
  2. 3x5x=35\frac{3x}{5x}=\frac35
  3. 抓大头 23\frac23
  4. x2/2x2=12\frac{x^2/2}{x^2}=\frac12
  5. e2x−1∼2xe^{2x}-1\sim2x → 2
  6. elim⁡2x⋅3x=e6e^{\lim 2x\cdot\frac3x}=e^6
  7. 有理化：lim⁡11+x+1=12\lim\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}=\frac12
  8. lim⁡x⋅cos⁡xsin⁡x=lim⁡cos⁡x⋅xsin⁡x=1\lim x\cdot\frac{\cos x}{\sin x}=\lim\cos x\cdot\frac{x}{\sin x}=1
  9. lim⁡(x−2)=−1\lim(x-2)=-1 → a=−1a=-1
  10. x=1 处极限 ∞\infty → 无穷间断点（第二类）
  11. 拆成 (1+1n)n⋅(1+1n)2\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2} → e⋅1=ee\cdot1=e ✅
  12. 洛必达两次或泰勒：1−cos⁡x3x2→1/23=16\frac{1-\cos x}{3x^2}\to\frac{1/2}{3}=\frac16 ✅

⚠️ 易错点

  1. 加减中乱用等价无穷小（最高频扣分）：lim⁡x→0tan⁡x−sin⁡xx3≠0\lim_{x \to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}\neq0，正确：tan⁡x−sin⁡x=tan⁡x(1−cos⁡x)∼x32\tan x-\sin x=\tan x(1-\cos x)\sim\frac{x^3}{2} → 12\frac12
  2. 两个重要极限条件别混（x→0 配 (1+x)1/x(1+x)^{1/x}）
  3. 洛必达前确认未定式类型，用一次验一次
  4. 极限存在 ⇌ 左右都存在且相等
  5. 无穷大 ≠ 无界（(−1)nn(-1)^n n 无界但非无穷大）
  6. 连续 ≠ 可导（y=∣x∣y=|x|）

✏️ 真题演练

📌 贴你做过的浙江真题（原题 → 解法 → 错因），按题型编号归类。

🔗 相关笔记

  • （相关备考日记放这里）
📐 高等数学 2 · 导数与微分
浙ICP备2026092140号