🎯 浙江考纲定位：一元微积分板块。计算题必出 2~3 道积分，凑微分与分部积分是主战场。

🎯 考纲要求

  • 理解原函数与不定积分的概念
  • 掌握基本积分公式表
  • 掌握第一类换元法（凑微分）、第二类换元法
  • 掌握分部积分法

📖 核心公式库

1. 基本积分表（反向的导数表，必须滚瓜烂熟）

∫xadx=xa+1a+1+C (a≠−1),∫dxx=ln⁡∣x∣+C,∫exdx=ex+C\int x^a dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C\ (a\neq-1),\qquad \int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C,\qquad \int e^x dx=e^x+C∫cos⁡x dx=sin⁡x+C,∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C,∫sec⁡2x dx=tan⁡x+C\int\cos x\,dx=\sin x+C,\qquad \int\sin x\,dx=-\cos x+C,\qquad \int\sec^2x\,dx=\tan x+C∫dx1+x2=arctan⁡x+C,∫dx1−x2=arcsin⁡x+C,∫axdx=axln⁡a+C\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C,\qquad \int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C,\qquad \int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}+C

2. 凑微分对照表（本章最核心资产）

看见凑成看见凑成
x dxx\,dx12d(x2)\frac12 d(x^2)dxx\frac{dx}{x}d(ln⁡x)d(\ln x)
x2dxx^2dx13d(x3)\frac13d(x^3)dxx2\frac{dx}{x^2}d(−1x)d(-\frac1x)
dxx\frac{dx}{\sqrt{x}}2d(x)2d(\sqrt{x})exdxe^xdxd(ex)d(e^x)
sin⁡x dx\sin x\,dx−d(cos⁡x)-d(\cos x)cos⁡x dx\cos x\,dxd(sin⁡x)d(\sin x)
dx1+x2\frac{dx}{1+x^2}d(arctan⁡x)d(\arctan x)dx1−x2\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}d(arcsin⁡x)d(\arcsin x)

3. 三角代换选择表

含有换元
a2−x2\sqrt{a^2-x^2}x=asin⁡tx=a\sin t
a2+x2\sqrt{a^2+x^2}x=atan⁡tx=a\tan t
x2−a2\sqrt{x^2-a^2}x=asec⁡tx=a\sec t

🧩 题型库：历年考法全覆盖（完整解法版）

题型 1：基本公式直接积分（送分，别丢）

例：∫(3x2−2x+ex)dx=x3−2ln⁡∣x∣+ex+C\int\left(3x^2-\frac2x+e^x\right)dx=x^3-2\ln|x|+e^x+C ✅

题型 2：简单凑微分（计算题常客）

例：∫xex2dx\int x e^{x^2}dx：x dx=12d(x2)x\,dx=\frac12d(x^2) → 12∫ex2d(x2)=12ex2+C\frac12\int e^{x^2}d(x^2)=\frac12e^{x^2}+C ✅

例：∫(ln⁡x)2xdx\int\frac{(\ln x)^2}{x}dx：dxx=d(ln⁡x)\frac{dx}{x}=d(\ln x) → ∫(ln⁡x)2d(ln⁡x)=(ln⁡x)33+C\int(\ln x)^2d(\ln x)=\frac{(\ln x)^3}{3}+C ✅

题型 3：内层复合的系数坑（计算题常客）

例：∫sin⁡2x dx\int\sin 2x\,dx：2x2x 的导数是 2 → 12∫sin⁡2x d(2x)=−cos⁡2x2+C\frac12\int\sin 2x\,d(2x)=-\frac{\cos 2x}{2}+C ✅ 例：∫e−3xdx=−13e−3x+C\int e^{-3x}dx=-\frac13e^{-3x}+C ✅

题型 4：分部——多项式 × 指数/三角（计算题常客）

口诀「反对幂三指」选 uu；多项式当 uu。

例：∫xexdx\int xe^x dx：u=x, dv=exdxu=x,\ dv=e^xdx → xex−∫exdx=xex−ex+Cxe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x+C ✅

例：∫xcos⁡x dx=xsin⁡x−∫sin⁡x dx=xsin⁡x+cos⁡x+C\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C ✅

题型 5：分部——多项式 × 对数/反三角（对数当 u）

例：∫xln⁡x dx\int x\ln x\,dx：u=ln⁡x, dv=x dxu=\ln x,\ dv=x\,dx →

x22ln⁡x−∫x22⋅1xdx=x22ln⁡x−x24+C\frac{x^2}{2}\ln x-\int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}dx =\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C

✅ 例：∫arctan⁡x dx=xarctan⁡x−∫x1+x2dx=xarctan⁡x−12ln⁡(1+x2)+C\int\arctan x\,dx=x\arctan x-\int\frac{x}{1+x^2}dx=x\arctan x-\frac12\ln(1+x^2)+C ✅

题型 6：循环型分部（移项解方程）

例：I=∫exsin⁡x dxI=\int e^x\sin x\,dx：分部两次（都选 sin⁡/cos⁡\sin/\cos 为 uu）→ I=exsin⁡x−excos⁡x−II=e^x\sin x-e^x\cos x-I，移项 2I=ex(sin⁡x−cos⁡x)2I=e^x(\sin x-\cos x) → I=ex(sin⁡x−cos⁡x)2+CI=\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C ✅

题型 7：有理函数拆项（填空/计算高频）

例：∫1x2−1dx\int\frac{1}{x^2-1}dx：1(x−1)(x+1)=12(1x−1−1x+1)\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac12\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right) → 12ln⁡∣x−1x+1∣+C\frac12\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C ✅

通用：1(x−a)(x−b)=1a−b(1x−a−1x−b)\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{1}{a-b}\left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x-b}\right)

背公式：∫dxx2−a2=12aln⁡∣x−ax+a∣+C\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C，∫dxa2+x2=1aarctan⁡xa+C\int\frac{dx}{a^2+x^2}=\frac1a\arctan\frac xa+C

题型 8：第二类换元（根式）

例：∫dx1+x\int\frac{dx}{1+\sqrt{x}}：令 t=xt=\sqrt{x}（x=t2, dx=2t dtx=t^2,\ dx=2t\,dt）：

∫2t dt1+t=∫(2−21+t)dt=2t−2ln⁡(1+t)+C=2x−2ln⁡(1+x)+C\int\frac{2t\,dt}{1+t}=\int\left(2-\frac{2}{1+t}\right)dt=2t-2\ln(1+t)+C =2\sqrt{x}-2\ln(1+\sqrt{x})+C

✅ 回代不能忘！

题型 9：三角积分（恒等变形）

例：∫tan⁡x dx=∫sin⁡xcos⁡xdx=−∫d(cos⁡x)cos⁡x=−ln⁡∣cos⁡x∣+C\int\tan x\,dx=\int\frac{\sin x}{\cos x}dx=-\int\frac{d(\cos x)}{\cos x}=-\ln|\cos x|+C ✅ 例：∫sin⁡2x dx=∫1−cos⁡2x2dx=x2−sin⁡2x4+C\int\sin^2x\,dx=\int\frac{1-\cos2x}{2}dx=\frac x2-\frac{\sin2x}{4}+C ✅（降幂公式）

题型 10：条件反求 / 分段原函数（填空变体）

例：f′(x)=2xf'(x)=2x 且 f(0)=1f(0)=1：f(x)=x2+Cf(x)=x^2+C，代条件 → f(x)=x2+1f(x)=x^2+1 ✅

📝 基础练习（先做后看答案）

  1. ∫(2x−3)dx\int(2x-3)dx
  2. ∫xx dx\int x\sqrt{x}\,dx
  3. ∫e−xdx\int e^{-x}dx
  4. ∫cos⁡3x dx\int\cos 3x\,dx
  5. ∫xx2+1dx\int\frac{x}{x^2+1}dx
  6. ∫tan⁡x dx\int\tan x\,dx
  7. ∫xln⁡x dx\int x\ln x\,dx
  8. ∫dxx2+4\int\frac{dx}{x^2+4}
  9. ∫dxx2−9\int\frac{dx}{x^2-9}
  10. ∫dx1+x\int\frac{dx}{1+\sqrt{x}}
  11. ∫sin⁡2x dx\int\sin^2x\,dx
  12. ∫arctan⁡x dx\int\arctan x\,dx
答案与解析（先自己做！）
  1. x2−3x+Cx^2-3x+C
  2. ∫x3/2dx=25x5/2+C\int x^{3/2}dx=\frac25x^{5/2}+C
  3. −e−x+C-e^{-x}+C（内层导 −1，系数要除）
  4. 13sin⁡3x+C\frac13\sin 3x+C
  5. 12ln⁡(1+x2)+C\frac12\ln(1+x^2)+C
  6. −ln⁡∣cos⁡x∣+C-\ln|\cos x|+C
  7. x22ln⁡x−x24+C\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C
  8. 12arctan⁡x2+C\frac12\arctan\frac x2+C
  9. 16ln⁡∣x−3x+3∣+C\frac16\ln\left|\frac{x-3}{x+3}\right|+C
  10. 2x−2ln⁡(1+x)+C2\sqrt{x}-2\ln(1+\sqrt{x})+C
  11. x2−sin⁡2x4+C\frac x2-\frac{\sin2x}{4}+C
  12. xarctan⁡x−12ln⁡(1+x2)+Cx\arctan x-\frac12\ln(1+x^2)+C

⚠️ 易错点

  1. 漏 +C：每题必写
  2. 内层系数漏除：∫sin⁡2x dx\int\sin 2x\,dx 不是 −cos⁡2x-\cos 2x
  3. 分部选错 uu 越积越复杂——发现复杂立刻换方向
  4. 第二类换元忘回代 tt → xx
  5. ln⁡∣x∣\ln|x| 的绝对值别丢
  6. 拆项后通分验一遍系数

✏️ 真题演练

📌 贴你做过的浙江真题（原题 → 解法 → 错因），按题型编号归类。

🔗 相关笔记

  • （相关备考日记放这里）