🎯 浙江考纲定位：四大板块之一（占比小于一元微积分，多为选择/填空题量级）。

🎯 考纲要求

• 理解数项级数收敛、发散及收敛和的概念
• 掌握正项级数的比较判别法、比值判别法
• 掌握交错级数的莱布尼茨判别法
• 理解绝对收敛与条件收敛
• 会求幂级数的收敛半径与收敛区间

📖 核心考点

1. 必背参照级数

• 等比级数 $\sum aq^n$：$|q|<1$ 收敛（和 $=\frac{a}{1-q}$），$|q|\ge1$ 发散
• p 级数 $\sum\frac{1}{n^p}$：$p>1$ 收敛，$p\le1$ 发散（调和级数 $p=1$ 发散）

2. 判别法选择流程

1. $u_n \to 0$？不趋零必发散（先秒杀）
2. 正项级数：含 $n!$ / $n^n$ / 指数式 → 比值判别法；与 $\frac{1}{n^p}$ 同形 → 比较判别法
3. 交错级数 → 莱布尼茨（$u_n$ 单调减 + 趋零）

⚡ 快速解法（秒杀技巧）

• 含 $n!$ → 直接比值判别法（阶乘连乘消干净）
• 收敛半径：$R=\lim\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$（注意方向，别写反）

🧩 题型库：历年考法全覆盖

题型 1：通项极限秒杀发散（选择常客）

例：$\sum\frac{n}{n+1}$：$u_n\to1\neq0$ → 发散 ✅

题型 2：比值判别法

例：$\sum\frac{n}{2^n}$：$\rho=\lim\frac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{n}=\lim\frac{n+1}{2n}=\frac12<1$ → 收敛 ✅

题型 3：比较判别法（填空常客）

例：$\sum\frac{1}{n^2+n}$：$\frac{1}{n^2+n}<\frac{1}{n^2}$ 且 $\sum\frac{1}{n^2}$ 收敛 → 收敛 ✅ 例 2：$\sum\frac{1}{\sqrt{n}}$ = p 级数 $p=\frac12$ → 发散 ✅

题型 4：交错级数 + 莱布尼茨

例：$\sum(-1)^{n-1}\frac{1}{n}$：$\frac1n$ 单调减趋于零 → 收敛；又 $\sum\frac1n$ 发散 → 条件收敛 ✅

题型 5：绝对收敛 / 条件收敛判断（选择高频！）

流程：先取绝对值判敛；原级数 + 绝对值级数都收敛 → 绝对收敛；原收敛但绝对值级数发散 → 条件收敛。 例：$\sum(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}$：绝对值级数 $\sum\frac1{n^2}$ 收敛 → 绝对收敛 ✅

题型 6：幂级数收敛半径与收敛区间

例：$\sum\frac{x^n}{n\cdot2^n}$：$R=\lim\frac{a_n}{a_{n+1}}=\lim\frac{(n+1)2^{n+1}}{n\cdot2^n}=2$ → 收敛区间 $(-2,2)$（端点 x=±2 另行代入判定：x=2 时 $\sum\frac1n$ 发散，x=−2 收敛）✅

题型 7：拆项相消（ telescoping，填空巧题）

例：$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\sum\left(\frac1n-\frac{1}{n+1}\right)=1$ ✅（前 n 项和 $1-\frac{1}{n+1}\to1$）

⚠️ 易错点

1. $u_n \to 0$ 是收敛必要非充分条件（调和级数发散）
2. 收敛区间是开区间，端点单独验
3. 条件收敛 / 绝对收敛的判断顺序别颠倒：先绝对值级数，再原级数
4. 比较判别法放缩方向：证收敛找更大的收敛级数压住，证发散找更小的发散级数托住

📝 基础练习（先做后看答案）

1. 判断 $\sum\frac{n}{n+1}$ 的敛散性
2. 判断 $\sum\frac{1}{n\cdot2^n}$ 的敛散性
3. 判断 $\sum\frac{1}{\sqrt n}$ 的敛散性
4. 判断 $\sum(-1)^{n-1}\frac1n$ 的敛散性与类型
5. 判断 $\sum(-1)^n\frac{1}{n!}$ 的敛散性与类型
6. 求 $\sum\frac{x^n}{n!}$ 的收敛半径
7. 求 $\sum\frac{x^n}{n^2}$ 的收敛区间（含端点）
8. 求 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}$ 的和

✏️ 真题演练

📌 贴你做过的浙江真题（原题 → 解法 → 错因），按题型编号归类。

🔗 相关笔记

• （待补充）