🎯 浙江考纲定位：四大板块之一，题目类型固定、套路性强，学会套路就能拿分。

🎯 考纲要求

• 理解二元函数的偏导数概念，会求一阶偏导数
• 会求简单二元函数的全微分
• 掌握多元复合函数求导法则（链式法则）
• 理解二元函数极值的必要条件
• 会计算简单的二重积分（直角坐标）

📖 核心考点

1. 偏导数：把别的变量当常数

$f(x,y)=x^2y$ → $f_x=2xy$、$f_y=x^2$

2. 全微分

3. 二重积分（直角坐标）

⚡ 快速解法（秒杀技巧）

• 先画区域再定限（90% 的错在上下限）
• 对称性省一半：区域对称 + 被积函数奇 → = 0
• 极坐标（若考纲涉及）：$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ d\sigma=r\,dr\,d\theta$，多出的 r 别忘

🧩 题型库：历年考法全覆盖

题型 1：求一阶偏导（计算题常客）

例：$z=x^2y+\sin(xy)$：$z_x=2xy+y\cos(xy)$，$z_y=x^2+x\cos(xy)$ ✅

题型 2：指定点的偏导数值（填空常客）

先求偏导函数再代点；或先代入另一变量为常数再求导（更省事）。 例：$z=x^y$ 在 (2,3) 处 $z_x=3\cdot2^2=12$ ✅

题型 3：全微分（填空高频！）

例：$z=xy$ 在 (1,2)：$z_x=2,z_y=1$ → $dz=2dx+dy$ ✅

题型 4：多元复合函数链式法则（计算题常客）

例：$z=u^2v$，$u=x+y,\ v=xy$：$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=2uv\cdot1+u^2\cdot y$，代 $u=x+y,v=xy$ 化简 ✅

题型 5：隐函数偏导（填空变体）

公式：$F(x,y,z)=0$ 确定 $z=z(x,y)$，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}$ ✅

题型 6：二重积分计算（综合题常客！）

例：$\iint_D xy\,d\sigma$，$D$ 由 $y=x$ 与 $y=x^2$ 围成：先 y 后 x，$\int_0^1 x\,dx\int_{x^2}^{x}y\,dy=\int_0^1 x\cdot\frac{x^2-x^4}{2}dx=\frac12\left(\frac14-\frac16\right)=\frac1{24}$ ✅

题型 7：交换积分次序（填空高频！）

流程：由累次积分反画区域 → 换方向重新定限。 例：$\int_0^1 dx\int_0^{x^2}f\,dy$：区域 0≤y≤x², 0≤x≤1 → 交换后 $\int_0^1 dy\int_{\sqrt{y}}^{1}f\,dx$ ✅

题型 8：极值与最值（选择/小计算）

流程：解 $f_x=0,\ f_y=0$ → 判别 $AC-B^2$（$>0$ 且 A<0 极大，>0 且 A>0 极小，<0 非极值）✅

⚠️ 易错点

1. 偏导时忘把其他变量当常数
2. 全微分漏 $dx$ 或 $dy$
3. 极坐标换元漏乘 r
4. 交换次序后上下限从常数到常数才算画对了区域；出现「上限是常数、下限是函数」多半画反
5. 内层积分上下限是外层变量的函数——写错方向全盘错

📝 基础练习（先做后看答案）

1. $z=x^2y^3$，求 $z_x,\ z_y$
2. $z=xy$ 在 (1,2) 处的全微分
3. $z=e^{xy}$，求 $z_x$
4. $z=u^2+v^2$，$u=x+y,\ v=x-y$，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$
5. $\iint_D d\sigma$，$D: 0\le x\le1,\ 0\le y\le2$
6. $\iint_D xy\,d\sigma$，$D: [0,1]\times[0,2]$
7. 交换次序：$\int_0^1dx\int_{x^2}^{x}f\,dy$
8. 求 $z=x^2+y^2-xy$ 的极值

✏️ 真题演练

📌 贴你做过的浙江真题（原题 → 解法 → 错因），按题型编号归类。

🔗 相关笔记

• （待补充）