🎯 浙江考纲定位：独立板块之一，计算题稳定出 1 道，难度不大，必须拿满分的一章。

🎯 考纲要求

• 理解微分方程的阶、解、通解、特解概念
• 掌握可分离变量方程的解法
• 掌握一阶线性微分方程的解法（公式法 / 常数变易法）
• 掌握二阶常系数线性齐次方程的特征根法
• 了解二阶常系数非齐次方程特解的设法

📖 核心公式库

1. 一阶线性 y′ + P(x)y = Q(x) 通解

2. 二阶齐次特征根三分支（r² + pr + q = 0）

⚡ 快速解法（秒杀技巧）

• 通解常数个数 = 阶数
• 非齐次特解速设：$P_m(x)e^{\lambda x}$ → $x^kQ_m(x)e^{\lambda x}$，$k$ = λ 作为特征根的重数（非根 0 / 单根 1 / 重根 2）

🧩 题型库：历年考法全覆盖（完整解法版）

题型 1：可分离变量（计算题常客）

例：$\frac{dy}{dx}=xy$：

✅ 例 2：$y'=\frac{y}{x}$ → $\ln|y|=\ln|x|+C_1$ → $y=Cx$ ✅

题型 2：一阶线性（计算题常客）

例：$y'+y=x$：$P=1,Q=x$，$e^{\int P}=e^x$ →

✅ 例 2：$y'+\frac1x y=x^2$：$e^{\int P}=x$ → $(xy)'=x^3$ → $xy=\frac{x^4}{4}+C$ → $y=\frac{x^3}{4}+\frac{C}{x}$ ✅（凑成乘积导数比硬套公式快）

题型 3：二阶齐次三种情形（计算题必会）

例 1（不等实根）：$y''-3y'+2y=0$：$(r-1)(r-2)=0$ → $y=C_1e^x+C_2e^{2x}$ ✅ 例 2（重根）：$y''-4y'+4y=0$：$r=2$ → $y=(C_1+C_2x)e^{2x}$ ✅ 例 3（复根）：$y''+2y'+5y=0$：$r^2+2r+5=0$，$r=-1\pm2i$ → $y=e^{-x}(C_1\cos2x+C_2\sin2x)$ ✅

题型 4：初始条件求特解（计算题标准流程）

流程：通解 → 代条件 → 解线性方程组 → 写特解（两步分开写）。

例：$y''-3y'+2y=0$，$y(0)=1,\ y'(0)=2$： 通解 $y=C_1e^x+C_2e^{2x}$ → $y'=C_1e^x+2C_2e^{2x}$ → $\begin{cases}C_1+C_2=1\\ C_1+2C_2=2\end{cases}$ → $C_1=0,\ C_2=1$ → 特解 $y=e^{2x}$ ✅

题型 5：二阶非齐次（综合储备）

例：$y''+y=e^x$：齐次 $y=C_1\cos x+C_2\sin x$（$r=\pm i$）；λ=1 非特征根 → 设 $y^*=Ae^x$，代入：$Ae^x+Ae^x=2Ae^x=e^x$ → $A=\frac12$；通解 $y=C_1\cos x+C_2\sin x+\frac12e^x$ ✅

题型 6：概念判断（选择）

阶数 = 最高导数的阶（$(y'')^3+y'=0$ 是 2 阶）；通解独立常数个数 = 阶数；验证解 = 代入方程成立。

📝 基础练习（先做后看答案）

1. $\frac{dy}{dx}=y$，求通解
2. $y'=2xy^2$，求通解
3. $y'+2y=1$，求通解
4. $y''-4y=0$，求通解
5. $y''+4y=0$，求通解
6. $y''-6y'+9y=0$，求通解
7. $y''-y=e^x$，求通解（提示：设 $y^*=Axe^x$）
8. $y'=x+1$，$y(0)=1$，求特解
9. $(y'')^3+y'=0$ 是几阶方程
10. $y''+y'=0$，$y(0)=1,\ y'(0)=0$，求特解

⚠️ 易错点

1. 特征方程判别式算错全盘皆输
2. 复根情形漏 $e^{\alpha x}$ 因子
3. 一阶线性公式指数一正一负写反
4. 求特解先写通解再代条件，两步分开
5. 可分离变量两边积分各出一个常数，合并成一个，别写俩也别不写

✏️ 真题演练

📌 贴你做过的浙江真题（原题 → 解法 → 错因），按题型编号归类。

🔗 相关笔记

• （相关备考日记放这里）